有限数学示例

$\frac{- x^{3} + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

从 $- x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{2}) + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (- x^{2}) + x^{1}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 1}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

从 $x (- x^{2}) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{2} + 1)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x (- x^{2} + 1^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

对 $\sqrt{13 - x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

对 $\sqrt{13 - x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} {\sqrt{13 - x^{2}}}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1 + 1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6

将 ${\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}$ 重写为 $13 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13 - x^{2}}$ 重写成 ${(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{({(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

化简。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

解题步骤 2

要将 $12 x \sqrt{13 - x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{13 - x^{2}}{13 - x^{2}}$ 。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + \frac{12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ 中分解出因数 $x \sqrt{13 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}$ 中分解出因数 $x \sqrt{13 - x^{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.1.2

从 $12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ 中分解出因数 $x \sqrt{13 - x^{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.1.3

从 $x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))$ 中分解出因数 $x \sqrt{13 - x^{2}}$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 (1 - x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x \cdot x + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - (x \cdot x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 0 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 \cdot 13 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $12$ 乘以 $13$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $1$ 和 $156$ 相加。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- x^{2} + 157 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 13 x^{2} + 157)}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $- 13 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) + 157)}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $157$ 重写为 $- 1 (- 157)$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) - 1 (- 157))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $- (13 x^{2}) - 1 (- 157)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $- (13 x^{2} - 157)$ 重写为 $- 1 (13 x^{2} - 157)$ 。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 1 (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$

解题步骤 5.4.3

将 $- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$

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